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第5章无失真信源编码定理

电脑杂谈  发布时间:2019-07-07 07:14:41  来源:网络整理

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二、 香农第三定理(保真度准则下的信源编码定理) 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信 源 信 宿 限 失 真 信 源 编 码 器 限 失 真 信 源 译 码 器 无 失 真 信 源 编 码 器 无 失 真 信 源 译 码 器 信 道 编 码 信 道 译 码 a b c d 信道 e f g h 一般通信系统框图 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 总结: 香农第二定理(有噪信道编码定理) r &le。只要码长足够长,总可以找到一种信源编码,使编码后的信息传输率略大于率失真函数,而码的平均失真度不大于给定的允许失真度,即d'<=d.设r(d)为一离散无记忆信源的信息率失真函数,并且选定有限的失真函数,对于任意允许平均失真度d>=0,和任意的a>0,以及任意足够长的码长n,则一定存在一种信源编码w,其码字个数为m<=exp{n[r(d)+a]},而编码后码的平均失真度d'(w)<=d+a。为了使信码流能够并有利于在光纤系统中传输,光发射机输出的信号是经过编码处理的,然而,为了使从光接收机输出的信号能在pcm系统内传输,还需将上述经过编码处理过的信号进行一系列的复原工作.。

 图 5. 1 就是一个编码器, 它的输入是信源符号集 S={s1, s2, …, sq} 。 同时存在另一符号集 X={x1, x2, …, xr} , 一般元素 xj 是适合信道传输的, 称为码符号(或称为码元)。编码器是将信源符号集中的符号 si(或者长为 N 的信源符号序列 ai) 变换成由 xj(j=1, 2, …, r) 组成的长度为 li 的一一对应序列。幻灯片 5  S: {s1, s2, …sq} C: {w1 ,w2,…wq}  (wi 是由 li 个 xj(xj 属于 X)) 组成的序列, 并于 si 一一对应  X: {x1,x2,…xr}  这种码符号序列 Wi 称为码字。 长度 li 称为码字长度或简称码长。 所有这些码字的集合C 称为码。  编码就是从信源符号到码符号的一种映射, 若要实现无失真编码, 必须这种映射是一一对应的、 可逆的。 幻灯片 6 一些码的定义  二元码: 若码符号集为 X={0, 1} , 所得码字都是一些二元序列, 则称为二元码。

香农第一定理的意义:将原始信源符号转化为新的码符号,使码符号尽量服从等概分布,从而每个码符号所携带的信息量达到最大,进而可以用尽量少的码符号传输信源信息。设某信道有r个输入符号,s个输出符号,信道容量为c,当信道的信息传输率r码长n足够长,总可以在输入的集合中(含有r^n个长度为n的码符号 序列),找到m (m<=2^(n(c-a))),a为任意的正数)个码字,分别代表m个等可能性的消息,组成一个码以及相应的译码规则,使信道输出端的最平均 错误译码概率pmin达到任意。每个符号被转换成码片的数目叫扩频因子sf(spreading factor) 加扰:用一个伪随机序列与扩频后的序列相乘,起到加密作用,扰码码片速率与已扩频的符号相同,不影响符号速率。

一般二元码都是同价码。 对同价码来说, 等长码中每个码字的传输时间都相同; 而变长码中每个码字的传输时间就不一定相同。 电报中常用的莫尔斯码是非同价码。  码的 N 次扩展码 假定某码 C, 它把信源 S 中的符号 si 一一变换成码 C 中的码字 wi, 则码 C 的 N 次扩展码是所有 N 个码字组成的码字序列的集合。幻灯片 9  唯一可译码 若码的任意一串有限长的码符号序列只能被惟一的译成所对应的信源符号序列,则此码称为唯一可译码, 或单义可译码。 若要所编的码是唯一可译码, 不但要求编码时不同的信源符号变换成不同的码字,而且还必须要求任意有限长的信源序列所对应的码符号序列各不相同, 即要求码的任意有限长 N 次扩展码都是非奇异码。 因为只有任意有限长的信源序列所对应的码符号序列各不相同, 才能把该码符号序列唯一地分割成一个个对应的信源符号, 从而实现惟一地译码。 幻灯片 10 5. 2 等长码  一般说来, 若要实现无失真的编码, 这不但要求信源符号 si 与码字 wi 是一一对应的,而且要求码符号序列的反变换也是惟一的无失真信源编码定理, 所编的码必须是唯一可译码。

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1110 000 000000 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 3) 中文电报信源编码器 “中” “0022” “01101 01101 11001 11001” 1、 信源编码器 b、 举例 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 c、 分类 等长码 变长码 中文电报 莫尔斯电码 有失真编码 无失真编码 i(s。 第4章信道编码 输入 外编码器 内编码器 信道 内译码器 外译码器 输出 n , k n , k n , k n , k k k 2 2 k k 1 1 n n 1 1 k k 2 2 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … … … … … k 个 n 个 n 个 n 个 k 个 2 2 2 2 2 编码器 译码器 图4-1 级联码编、解码方框图 第4章信道编码 在编码时,首先将k ×k 个二进制信息元(码元)划分为k 1 2 2个码字,每个码字有k 个码元,把码字看成是多进制码中的一 1个符号。 二、 香农第三定理(保真度准则下的信源编码定理) 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信 源 信 宿 限 失 真 信 源 编 码 器 限 失 真 信 源 译 码 器 无 失 真 信 源 编 码 器 无 失 真 信 源 译 码 器 信 道 编 码 信 道 译 码 a b c d 信道 e f g h 一般通信系统框图 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 总结: 香农第二定理(有噪信道编码定理) r &le。

532logloglog==≥rql 幻灯片 13 续  等长编码后, 每个码字只载荷约 1. 4 比特信息量, 也就是编码后 5 个二元符号只携带约 1. 4 比特的信息量。  第三章中已知对于无噪无损二元信道, 每 5 个二元码符号最大能载荷 5 比特的信息量。  前述的英文电报等长编码的信息传输效率极低。 幻灯片 14  是否可以使每个信源符号所需的码符号个数减少, 也就是说是否可以提高传输效率呢?  可以的  通过英文电报的例子可以看出, 在实际通信中每个信源符号所需的码符号个数能够减少, 可以提高传输效率呢!  在信息传输中, 考虑信源符号出现的概率, 以及信源符号之间的依赖关系, 就是考虑信源的剩余度, 可以使得等长编码中每个信源符号平均所需的码长减少。 幻灯片 15 例 2 ( )s( )s( )s( )s( )s= 44332211PsPsPsPsPS ( ) 141=∑= i isP ()()()() 143342112====ssPssPssPssP ()0=ijssP  不考虑符号依赖性, q=4, 进行等长二元编码, L=2 幻灯片 16 续  考虑符号之间的依赖性, 此特殊信源的二次扩展信源为 ()()()()()= 34344343121221212ssPssssPssssPssssPssssPsji () 1=∑ij jissP ()( )s() () 4 , 3 , 2 , 1=,•=jissPPssPijiji 幻灯片 17 续  考虑到符号之间的依赖性, 二次扩展信源的符号由 16 个缩减到 4 个。

 对此二次扩展信源进行等长编码, 所需码长仍为 L=2。  P194 页的例子可以看出, 当考虑了信源符号之间的依赖关系后, 有些信源符号序列不会出现, 使得信源符号序列的个数减少, 再进行编码时, 所需的平均码长就可以缩短。 幻灯片 18 续  等长编码定理给出了信源进行等长编码所需码长的理论极限值,  为了严格证明等长编码定理, 需引进 N 长信源序列集的渐近等分隔性和ε 典型序列。在信息论的定理证明中, 是一种重要的数学工具。 幻灯片 19 5. 4 等长信源编码定理  一个熵为 H(S) 的离散无记忆信源, 若对信源长为 N 的符号序列进行等长编码, 设码字是从 r 个字母的码符号集中, 选取 l 个码元组成。 对于任意ε >0, 只要满足 则当 N 足够大时, 可实现几乎无失真编码, 即译码错误概率能为任意。 反之,若 则不可能实现无失真编码, 而当 N 足够大时, 译码错误概率近似等于 1。 ()logr SHNLε+≥ ( )logr2εSHNL−≤ 幻灯片 20  等长信源编码定理同样适用于平稳离散有记忆信源, 只是要求有记忆信源的极限熵和极限方差存在。

 等长编码定理说明: 只要码字传输的信息量大于信源序列携带的信息量, 总可以实现几乎无失真编码。 幻灯片 21 编码效率 logrNLR'=  令, 这是编码后平均每个信源符号 能载荷的最大信息量, 称 R’ 为编码后信源的信息传输率。  可见编码后信源的信息传输率大于信源的熵, 才能实现几乎无失真编码。  为了衡量各种实际等长编码方法的编码效果, 引进称为编码效率。 ( )R( )logrSHLS'HN==η 幻灯片 22  一般情况下, 最佳等长编码的效率可接近于 1。 在已知信源熵的条件下, 信源序列长度N 是与最佳编码效率和允许错误概率有关系。  若要求容许错误概率越, 编码效率越高, 则信源序列长度 N 必须越大, 然而 N 越大,实际应用系统的编译码器的复杂性和延时性将大大增加。 在实际情况下, 要实现几乎无失真的等长编码, N 需要大到难以实现的程度。  当 N 有限时, 高传输效率的等长码往往要引入一定的失真和错误, 它不能像变长码那样可以实现无失真编码。 幻灯片 23 5。 5 变长码  变长码往往在 N 不很大时就可编出效率很高而且无失真的码。

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要求任一字符的编码都不能是另一字符编码的前缀,这种编码称为前缀编码(其实是非前缀码)。 第4章信道编码 输入 外编码器 内编码器 信道 内译码器 外译码器 输出 n , k n , k n , k n , k k k 2 2 k k 1 1 n n 1 1 k k 2 2 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … … … … … k 个 n 个 n 个 n 个 k 个 2 2 2 2 2 编码器 译码器 图4-1 级联码编、解码方框图 第4章信道编码 在编码时,首先将k ×k 个二进制信息元(码元)划分为k 1 2 2个码字,每个码字有k 个码元,把码字看成是多进制码中的一 1个符号。内存中间码 = 中间码 | { 符号标志 大标志 前缀} [表达式 ]。

 如果没有一个码字是其他码字的前缀, 则在译码过程中, 当收到一个完整码字的码符号序列时, 就能直接把它译成对应的信源符号, 无需等待下一个符号到达后才作出判断, 这就是即时码。 ( (幻灯片 26  即时码(非延长码) 是唯一可译码的一类子码, 所以即时码一定是唯一可译码, 反之)m21iiixxx )jm21kkkkxxxx 唯一可译码不一定是即时码。 因为有些非即时码(延长码) 具有唯一可译性, 但不满足前缀条件。 幻灯片 27 5. 5. 2 即时码的树图构造法  即时码的一种简单构造方法是树图法。  对给定码字的全体集合 C={w1 , w2, …, wq} 来说, 可以用码树来描述它。  根、 节点、 终端节点、 中间节点、 整树、 非整树  即时码的码树图还可以用来译码。 幻灯片 28 5. 5. 3 克拉夫特(Kraft) 不等式  对于码符号集为 X={x1, x2, … , xr} 的任意 r 元即时码(非延长码), 其码字为w1, w2, …, wq, 所对应的码长为 l1, l2, …lq, 则必定满足 反之, 若码长满足不等式(5. 48) , 则一定存在具有这样码长的 r 元即时码。

1rq1ili≤∑=幻灯片 29  对于码符号集为 X={x1, x2, … , xr} 的任意 r 元惟一可译码, 其码字为 w1, w2, … wq,− 所对应的码长为 l1, l2, …lq, 则必定满足 Kraft 不等式 反之, 若码长满足不等式(5. 48) , 则一定存在具有这样码长的 r 元唯一可译码。  上述定理 5. 5 指出了唯一可译码中 r、 q、 li 之间的关系。 说明如果符合这个关系式,则一定能够构成至少一种唯一可译码, 否则, 无法构成唯一可译码。 1rq1ili≤∑=幻灯片 30  定理 5. 5 只给出了唯一可译变长码的存在性, 说明唯一可译码一定满足不等式; 反之,− 满足不等式的码不一定是唯一可译码, 但一定存在至少一种唯一可译码。  任何一个唯一可译码均可用一个即时码来代替, 而不改变任一码字的长度。  若存在一个码长为 l1, l2, …lq, 的唯一可译码, 则一定存在一个具有相同码长的即时码。  即时码很容易用树图法来构造。

误码率计算困难香农采取的方法:用随机编码方法得到所有可能码的集合,在其中随机选择一个码作为信道码,利用联合典型序列译码,利用大数定理计算在集合平均意义上的该码性能2。2 证明从早期的粗糙定性证明到后来给定精确差错概率指数上下限的严格数学证明。发端信息码序列与扩频码序列组合以后按照不同的码字去控制频率合成器。恢复原来的带宽其中的关键问题对扩频码的要求:自相关特性(良好的自相关特性,便于扩频码的同步)互相关特性(良好的互相关特性,便于区分不同的用户)扩频码的产生m序列walsh码gold码m序列hadama矩阵hadama矩阵的产生m序列的产生可以利用移位寄存器加上反馈来产生m序列,其中部分反馈系数如下表所示:例如n=7,序列长度=2n-1=127,反馈系数之一为(325)八进制=(11010101)二进制,转换成二进制数值并与移位寄存器级数对应得到有这些反馈系数移位寄存器为c7=1,到c6=1, c5=0, =1, c3=0, c2=1, c1=0, c0=1, 其具体的寄存器如下图所示扩频signal扩频码扩频码注意:扩频码的速率比信息速率要高,一般来讲应是f倍bpsk调制扩频信号调制之后的信号扩频之后的信号调制与一般的数据调制完全一样扩频通信系统发射机模型扩频通信系统发射机设计发射机参数设置数据速率:datarate载波频率:fc抽样频率:fs码片速率:chipratefunction [datarate,fc,fs,chiprate]=transmitterpara(c)datarate=1。

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后者的操作对象是三元而非二元数字,三元golay码将每6个三元符号分为一组,编码生成5个冗余校验三元符号,这样由11个三元符号组成的三元golay码码字可以纠正2个错误。 二、 香农第三定理(保真度准则下的信源编码定理) 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信 源 信 宿 限 失 真 信 源 编 码 器 限 失 真 信 源 译 码 器 无 失 真 信 源 编 码 器 无 失 真 信 源 译 码 器 信 道 编 码 信 道 译 码 a b c d 信道 e f g h 一般通信系统框图 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 总结: 香农第二定理(有噪信道编码定理) r &le。5。把符号还原成意思的过程叫() a。编码 b。译码 c。组码 d。释码。

幻灯片 36  对于唯一可译码, 信源符号与码字是一一对应的, 所以 P(Wi) =P(si) (i=1, 2, …, q)  则这个码的平均长度为  从工程角度, 通信设备经济、 简单、 并且单位时间内传输的信息量越大越好。  当信源给定时, 信源的熵就确定了, 而编码后每个信源符号平均用 个码元来交换。那么平均每个码元携带的信息量即编码后信道的信息传输率(又称码率) 为(比特/码符号)( )isq1iil PL ∑ =−= __L ( )X( )_LSHHR== 幻灯片 37  若传输一个码符号平均需要 t 秒钟, 则编码后信道每秒钟传输的信息量为(比特/秒)   由此可见越短, Rt 越大, 信息传输效率就越高。 所以需要研究的是使平均码长 为最短的码。  对于某一信源和某一码集, 若有一个唯一可译码, 其平均长度于所有其他唯一可译码的平均长度, 则该码称为紧致码, 或称最佳码。  无失真信源编码的基本问题就是要找紧致码。 ( )___tLtSHR = __L __L __L 幻灯片 38 紧致码的平均码长 可能达到的理论极限__L  定理 5。7 若一个离散无记忆信源 S 具有熵为 H(S), 并有 r 个码元的码符号集X={x1,x2, …,xr}则总可以找到一种无失真编码方式, 构成唯一可译码, 使其平均码长满足 ( )S( )SlogrH1LlogrH__+<≤  定理说明码字的平均长度不能于极限值, 否则唯一可译码不存在。

 定理给出了平均码长的上界, 并不是大于这个上界就不能构成唯一可译码, 而是希望平均码长尽可能短。 定理给出了紧致码的最短平均码长, 并指出这个值与信源熵是有关的。 幻灯片 39 无失真变长信源编码定理——即香农第一定理  定理 5. 8 离散无记忆信源 S 的 N 次扩展信源 SN={a1, a2, …, } , 其熵为 H(SN) , 并符号 X={x1, …, xr} 。 对信源 SN 进行编码, 总可以 找到一种编码方法, 构成唯一可译码, 使信源 S 中每个信源符号所需的平均码长满足 或者当时, 则得 式中 Nq a ( )S( )SlogrHNLN1logrHN_≥>+ ( ) SHNLlimN→rN_=∞ ( )S( )SHNLN1HrN_r≥>+ ∞→N ( )iaq1iiN_NPLλ∑== 幻灯片 40 续 i λ 式(5.80) 中,是 ai 所对应的码字长度, 因此, 是无记忆扩展信源 SN 中每个符号 ai 的平均码长, 可见 仍是信源 S 中每一单个信源符号所需的平均码长。

其中 rnlrnlog'2、 香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 说明: 1) 通过对扩展信源进行可变长编码, 可以使平均码长无限趋近 于极限熵值, 但这是以编码复杂性为代价的。 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 2、 香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) rshlognlnrshlogn)(1)(定理4.1 设 信源, 若对 n},...,,{21nqns为q元离散无记忆信源s的n次扩展 xxxx},...,,{21s 进行编码, 码符号集 r, 则总可以找 到一种编码方法构成惟一可译码, 使信源s中每个符号所需的平均 编码长度满足: 且当 n时有: )(log)(limnshrshnlrn信息论与编码基础 香农三大定理 简介 表述二: 若r>h(s), 就存在惟一可译变长编码。 2) 无失真信源编码的实质 : 对离 散信源进行适当 的变换, 使变换 后新的符号序列 信源尽可能为等概率分布, 从而使新信源的每个码 符号平均所含的信息量达到最大。

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由定理可知, 信道容量 C 是无燥信道的无差错传输的最大信息传输率。  为了衡量各种编码距极限压缩值的情况, 定义变长码的编码效率。 幻灯片 43 __L  设对信源 S 进行编码所得到的平均码长为, 因为 一定是大于或者等于 Hr(S),所以定义编码的效率为平均码长与极限值之比, 一般对于平稳有记忆信源有 对于无记忆信源则有 式中, 一定是于或等于 1 的数。 对同一信源来说, 若码的平均码长越短, 越接近极限值 Hr(S), 信道的信息传输率就越高, 就越接近无燥无损信道容量,这时 也越接近于 1, 所以可用码的效率 来衡量各种编码的优劣。__L η logrLHLlogr_H_∞∞==η ( )L( )logrLSH__SH__r==η NLLN__= η幻灯片 44 码的剩余度  为了衡量各种编码与最佳码的差距, 定义码的剩余度为  在二元无损信道中 r=2, 所以=H(S) , 二元无噪无损信道中信息传输率  (注意他们数值相同, 单位不同)  在二元信道中可直接用编码效率衡量编码后信道的信息传输率是否提高了。

这张编码表的特殊之处在于,它是根据每一个源字符出现的估算概率而建立起来的(出现概率高的字符使用较短的编码,反之出现概率低的则使用较长的编码,这便使编码之后的字符串的平均期望长度降低,从而达到无损压缩数据的目的)。 第4章信道编码k比特块 mk信息比特 n , k 分组 编码输出 1 复用 系统编码器 m n -k 校验比特块 1 长度n=mk n , k 分组 2 块交织器 系统编码器 m n -k 2 校验比特块 图4-14 并行级联分组码编码方框图 第4章信道编码4.6.2 串行与并行的级联卷积码 1. turbo码 带交织的并行级联卷积码pccc parallelly concatenatedconvolutional codes 也叫turbo码,turbo编码器的基本结构如图4-15所示, 它由两个并联的递归系统卷积码rsc recursivesystematic convolutional )编码器组成,并在第二个编码器前面串接了一个交织器。 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 2、 香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) rshlognlnrshlogn)(1)(定理4.1 设 信源, 若对 n},...,,{21nqns为q元离散无记忆信源s的n次扩展 xxxx},...,,{21s 进行编码, 码符号集 r, 则总可以找 到一种编码方法构成惟一可译码, 使信源s中每个符号所需的平均 编码长度满足: 且当 n时有: )(log)(limnshrshnlrn信息论与编码基础 香农三大定理 简介 表述二: 若r>h(s), 就存在惟一可译变长编码。

 1、 r=2, 码长 li=1, 2, 3, 3, 4  2、 r=2,码长 li=1, 3, 3, 3, 4, 5, 5  3、 r=4无失真信源编码定理, 码长 li=1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4  4、 r=5, 码长 li=1, 1, 1, 1, 1, 3, 4 幻灯片 49 习题 5. 10  若有一信源每秒钟发出 2. 66 个信源符号。 将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输(假设信道是无噪无损的), 而信道每秒钟只传递两个二元符号。 试问信源不通过编码能否直接与信道连接? 若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输? 若能连接, 试说明如何编码并说明原因。 ( )s=幻灯片 50 2 . 08 . 021ssPS 解答 1  如果不通过编码, 即信道的两个码符号对应两个信源符号, 而信道传输码符号的速度于信源发出信源符号的速度, 因此势必会造成信源符号的堆积, 因此不通过编码是无法将信源与信道直接连接的。 幻灯片 51 解答 2  信源平均每秒发出的信息量为  而该信道的信道容量为 1 比特/符号, 平均每秒能够传输的最大信息量为 2 比特, 因此通过编码可以实现二者的连接。

设信源s的熵h(s),无噪离散信道的信道容量为c,于是,信源的输出可以进行这样的编码,使得信道上传输的平均速率为每秒(c/h(s)-a)个信源符号.其中a可以是任意的正数, 要使传输的平均速率大于(c/h(s))是不可能的。 第4章信道编码 输入 外编码器 内编码器 信道 内译码器 外译码器 输出 n , k n , k n , k n , k k k 2 2 k k 1 1 n n 1 1 k k 2 2 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … … … … … k 个 n 个 n 个 n 个 k 个 2 2 2 2 2 编码器 译码器 图4-1 级联码编、解码方框图 第4章信道编码 在编码时,首先将k ×k 个二进制信息元(码元)划分为k 1 2 2个码字,每个码字有k 个码元,把码字看成是多进制码中的一 1个符号。 二、 香农第三定理(保真度准则下的信源编码定理) 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信 源 信 宿 限 失 真 信 源 编 码 器 限 失 真 信 源 译 码 器 无 失 真 信 源 编 码 器 无 失 真 信 源 译 码 器 信 道 编 码 信 道 译 码 a b c d 信道 e f g h 一般通信系统框图 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 总结: 香农第二定理(有噪信道编码定理) r &le。


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